Kétdimenziós tér - Two-dimensional space
Geometria |
---|
Geometerek |
A kétdimenziós tér (más néven 2D tér , 2-tér vagy kétdimenziós tér ) olyan geometriai beállítás, amelyben két értékre ( paramétereknek ) van szükség az elem (azaz pont ) helyzetének meghatározásához . A megfelelő felépítésű valós számpárok halmaza gyakran szolgál egy kétdimenziós euklideszi tér kanonikus példájaként. A fogalom általánosítására lásd a dimenziót .
Kétdimenziós térben lehet tekinteni, mint egy vetülete a fizikai univerzum rá egy síkban . Általában euklideszi térnek tekintik, és a két dimenziót hossznak és szélességnek nevezik.
Történelem
Az Euklidész elemei I. és IV. És VI. Könyve kétdimenziós geometriával foglalkozott, olyan fogalmakat fejlesztett ki, mint az alakok hasonlósága, a Pitagorasz-tétel (47. tétel ), a szögek és területek egyenlősége , a párhuzamosság, a háromszög szögeinek összege, és a három eset, amikor a háromszögek "egyenlők" (azonos területűek), sok más téma mellett.
Később, a gép ismertetett úgynevezett derékszögű koordináta-rendszer , a koordináta-rendszer , amely meghatározza az egyes ponton egyedileg egy síkban egy pár numerikus koordinátákat , melyek a aláírt távolságokban pont két rögzített merőleges irányított vonalak, mért ugyanaz a hosszegység . Minden referenciavonalat a rendszer koordináta -tengelyének vagy éppen tengelyének neveznek , és az a pont, ahol találkoznak, az eredete , általában a rendezett páron (0, 0). A koordinátákat úgy is definiálhatjuk, mint a pont merőleges vetületeinek helyzetét a két tengelyre, az origótól számított előírt távolságokban kifejezve.
Ennek a rendszernek az ötletét 1637 -ben Descartes és Pierre de Fermat írásaiban fejlesztették ki , bár Fermat is három dimenzióban dolgozott, és nem tette közzé a felfedezést. Mindkét szerző egyetlen tengelyt használt a kezelésében, és ehhez a tengelyhez képest változó hosszúságú. A tengelypár használatának fogalmát később vezették be, miután Descartes La Géométrie -jét Frans van Schooten és tanítványai 1649 -ben lefordították latinra . Ezek a kommentátorok számos fogalmat vezettek be, miközben megpróbálták tisztázni Descartes munkájában található gondolatokat.
Később a síkot mezőnek tekintették , ahol bármelyik két pontot meg lehet szorozni, és 0 kivételével el lehet osztani. Ezt komplex síknak nevezték . A komplex síkot néha Argand síknak nevezik, mert Argand diagramokban használják. Ezeket Jean-Robert Argandról (1768–1822) nevezték el , bár először Caspar Wessel (1745–1818) dán-norvég földmérő és matematikus írta le őket . Az Argand diagramokat gyakran használják egy függvény pólusainak és nulláinak helyzetének ábrázolására a komplex síkban.
A geometriában
Koordináta rendszerek
A matematikában az analitikus geometria (más néven derékszögű geometria) kétdimenziós tér minden pontját két koordináta segítségével írja le. Két merőleges koordináta -tengely van megadva, amelyek keresztezik egymást az origón . Általában x és y jelöléssel vannak ellátva . Ezekhez a tengelyekhez képest a kétdimenziós tér bármely pontjának helyzetét egy rendezett valós számpár adja meg, minden szám megadja az adott pont távolságát az adott tengely mentén mért origótól , amely megegyezik a távolsággal. pont a másik tengelytől.
Egy másik széles körben használt koordinátarendszer a poláris koordinátarendszer , amely egy pontot határoz meg az origótól való távolsága és a jobb oldali referenciasugárhoz viszonyított szöge alapján.
Politópok
Két dimenzióban végtelen sok politóp van: a sokszögek. Az első néhány rendes az alábbiakban látható:
Konvex
A Schläfli szimbólum {p} egy szabályos p -gomot jelent .
Név |
Háromszög ( 2-szimplex ) |
Négyzet ( 2-orthoplex ) ( 2-kocka ) |
Pentagon | Hatszög | Hétszög | Nyolcszög | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | {8} | |
Kép | |||||||
Név | Nonagon | Tíz szög | Hendecagon | Tizenkét szög | Tridekagon | Tetradecagon | |
Schläfli | {9} | {10} | {11} | {12} | {13} | {14} | |
Kép | |||||||
Név | Pentadekagon | Hexadekagon | Heptadekagon | Octadecagon | Enneadekagon | Icosagon | ... n-gon |
Schläfli | {15} | {16} | {17} | {18} | {19} | {20} | { n } |
Kép |
Degenerált (gömb alakú)
A szabályos monogon (vagy henagon) {1} és szabályos digon {2} degenerált szabályos sokszögeknek tekinthetők, és nem-euklideszi terekben, például 2-gömbös , 2-torusos vagy jobb oldali kör alakú hengerben nem degeneráltan léteznek .
Név | Monogon | Digon |
---|---|---|
Schläfli | {1} | {2} |
Kép |
Nem domború
Végtelen sok nem konvex szabályos politóp létezik két dimenzióban, amelyek Schläfli szimbólumai racionális {n/m} számokból állnak. Ezeket csillag sokszögeknek nevezik, és a domború szabályos sokszögeknek ugyanaz a csúcs elrendezése .
Általánosságban elmondható, hogy bármely természetes szám esetén n-hegyes, nem domború, szabályos sokszögű csillagok vannak Schläfli szimbólumokkal { n / m } minden m-re, így m < n / 2 (szigorúan véve { n / m } = { n / ( n - m )}), és m és n jelentése relatív prím .
Név | Pentagram | Heptagramok | Octagram | Enneagrammok | Dekagramm | ... n-agramok | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | { n/m } |
Kép |
Kör
A hipergömb 2 dimenzióban egy kör , amelyet néha 1-gömbnek ( S 1 ) neveznek, mert egydimenziós sokaság . Az euklideszi síkon, azt a hosszát 2π r és a terület annak belseje is
hol van a sugár.
Más formák
Végtelen számú más ívelt alakzat létezik két dimenzióban, nevezetesen a kúpos szakaszok : az ellipszis , a parabola és a hiperbola .
Lineáris algebrában
A kétdimenziós tér megtekintésének másik matematikai módja a lineáris algebrában található , ahol a függetlenség gondolata döntő fontosságú. A síknak két dimenziója van, mivel egy téglalap hossza független a szélességétől. A lineáris algebra technikai nyelvén a sík kétdimenziós, mert a sík minden pontja leírható két független vektor lineáris kombinációjával .
Pontozott termék, szög és hossz
Két vektor A = [ A 1 , A 2 ] és B = [ B 1 , B 2 ] pont szorzatát a következőképpen határozzuk meg:
Egy vektor nyílként ábrázolható. Nagysága a hossza, iránya pedig a nyíl iránya. Nagysága a vektor A jelöli . Ebből a szempontból két euklideszi A és B vektor ponttermékét a
ahol θ az A és B közötti szög .
A dot termék egy vektor Egy önmagában
amely ad
a vektor euklideszi hosszának képletét .
Számításban
Gradiens
Egy téglalap alakú koordináta -rendszerben a gradiens a
Vonalintegrálok és kettős integrálok
Bizonyos f skaláris mezők esetén : U ⊆ R 2 → R , a C ⊂ U darabos sima görbe mentén a vonalintegrál a következőképpen van definiálva:
ahol r : [a, b] → C a C görbe tetszőleges bijektív paraméterezése úgy, hogy r ( a ) és r ( b ) megadja C és .
Az F : U ⊆ R 2 → R 2 vektormező esetében a C ⊂ U darabos, sima görbe mentén, egyenes vonallal integrált r irányát úgy definiáljuk, hogy
ahol · a pont termék és R : [a, b] → C egy bijektív parametrizálását a görbe C úgy, hogy az R ( a ) és R ( b ), így a végpontja C .
Egy kettős integrál kifejezés olyan szerves egy régión belül D az R 2 egy funkciót , és általában írva, mint:
Vonalintegrálok alaptétele
A vonalintegrálok alaptétele azt mondja, hogy a gradiensmezőn keresztüli egyenes integrál értékelhető a görbe végpontjain lévő eredeti skaláris mező értékelésével.
Hagyja . Azután
Green tétele
Legyen C egy pozitív irányú , darabonként sima , egyszerű zárt görbe egy síkban , és legyen D a C által határolt régió . Ha L és M az ( x , y ) függvényei, amelyek egy D -t tartalmazó nyílt régión vannak definiálva, és ott folyamatos parciális deriváltjaik vannak, akkor
ahol az integráció útja a C mentén az óramutató járásával ellentétes irányú .
Topológiában
A topológiában a síkot úgy jellemzik, hogy az egyedülálló, összehúzható 2 elosztó .
Dimenzióját az jellemzi, hogy egy pont eltávolítása a síkból olyan teret hagy, amely kapcsolódik, de nem egyszerűen kapcsolódik .
A gráfelméletben
A gráfelméletben a síkgráf olyan gráf , amely beágyazható a síkba, azaz úgy rajzolható a síkra, hogy élei csak a végpontjukban metszik egymást. Más szóval úgy rajzolható, hogy egyik éle sem keresztezi egymást. Az ilyen rajzot síkgráfnak vagy a gráf sík beágyazásának nevezik . A síkgráf meghatározható síkgráfként, amely minden csomóponttól egy sík egy pontjáig, és minden éltől egy síkgörbéig leképeződik azon a síkon, úgy, hogy minden görbe szélső pontjai a végétől leképezett pontok csomópontok, és minden görbe diszjunkt, kivéve a szélső pontjaikat.
Lásd még
Hivatkozások
- ^ "Analitikus geometria". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online szerk.). 2008.
- ^ Burton 2011 , p. 374
- ^ Wessel emlékiratát 1797 -ben mutatták be a Dán Akadémiának; Argand papírja 1806 -ban jelent meg. (Whittaker & Watson, 1927, 9. o.)
- ^ S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Lineáris algebra (Schaum's Outlines) (4. kiadás). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vektoros elemzés (Schaum's Outlines) (2. kiadás). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ Matematikai módszerek a fizikához és a mérnöki munkához, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
- ^ Vektoros elemzés (2. kiadás), MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
-
^ Trudeau, Richard J. (1993). Bevezetés a gráfelméletbe (Javított, kibővített köztársaság. Szerk.). New York: Dover Pub. o. 64. ISBN 978-0-486-67870-2. Letöltve: 2012. augusztus 8 .
Így a sík gráf, ha sík felületre rajzolják, vagy nincsenek peremkeresztjei, vagy anélkül rajzolható át.